Question

已知函数，（其中）.

（1）求的单调区间；

（2）若函数在区间上为增函数，求的取值范围；

（3）设函数，当时，若存在，对任意的，总有成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）单调增区间为，单调减区间为.

（2）.

（3）实数的取值范围为.

【解析】

试题分析：（1）利用导数非负，函数是增函数，导数非正，函数是减函数.通过研究函数的导数值正负，解决问题；

（2）利用“转化与划归思想”，由题意得到在上恒成立，即在上恒成立，应用二次函数的性质得到，解得，注意验证时，是否恒为0；

（3）将“存在，对任意的，总有成立”转化成“在上的最大值不小于在上的最大值”. 建立的不等式组.

试题解析：（1），，

，故.

当时，；当时，.

的单调增区间为，单调减区间为. 3分

（2），则，由题意可知在上恒成立，即在上恒成立，因函数开口向上，且对称轴为，故在上单调递增，因此只需使，解得；

易知当时，且不恒为0.

故. 7分

（3）当时，，，故在上，即函数在上单调递增，. 9分

而“存在，对任意的，总有成立”等价于“在上的最大值不小于在上的最大值”.

而在上的最大值为中的最大者，记为.

所以有，，

.

故实数的取值范围为. 13分

考点：应用导数研究函数的单调性、最值，转化与划归思想，不等式的解法.