Question

已知椭圆：的离心率为，右焦点到直线的距离为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆右焦点F₂斜率为（）的直线与椭圆相交于两点，为椭圆的右顶点，直线分别交直线于点，线段的中点为，记直线的斜率为，求证：为定值．

Answer

（1）．（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）利用椭圆的几何性质，建立的方程组即得；

（2）要证明为定值，须从确定两直线斜率的表达式入手.根据题目的条件，应注意设出的直线方程，并与椭圆方程联立，应用韦达定理，建立与坐标的联系；确定的坐标，将斜率用坐标表示.得到，的关系即得证.

设过点 的直线方程为：，，点，

将代入椭圆整理得：

应用韦达定理 ；

根据直线的方程为：，直线的方程为：

令，得点，，点 ；

由直线 的斜率为

，

将代入上式得到，的关系即得证.

试题解析：（1）由题意得，， 2分

所以，，所求椭圆方程为． 4分

（2）设过点 的直线方程为：，

设点，点 5分

将直线方程代入椭圆

整理得： 6分

因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，恒成立，

且 7分

直线的方程为：，直线的方程为：

令，得点，，

所以点的坐标 9分

直线 的斜率为

11分

将代入上式得：

所以为定值 13分

考点：椭圆的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理，直线的斜率与方程.