Question

已知函数，（，）．

（1）判断曲线在点（1，）处的切线与曲线的公共点个数；

（2）当时，若函数有两个零点，求的取值范围．

Answer

（1）当△>时，即或时，有两个公共点；

当△=时，即或时，有一个公共点；

当△<时,即时，没有公共点 .

（2）当时，函数有两个零点.

【解析】

试题分析：（1）求导数得切线的斜率，由直线方程的点斜式，得到曲线在点（1，）处的切线方程为；

由，利用一元二次方程根的判别式讨论得解.

（2）为讨论=的零点，

令得到，

因此可令，利用导数知识，讨论起最大值、最小值即得所求.

试题解析：（1），所以斜率 2分

又，曲线在点（1，）处的切线方程为 3分

由 4分

由△=可知：

当△>时，即或时，有两个公共点；

当△=时，即或时，有一个公共点；

当△<时,即时，没有公共点 7分

（2）=，

由得 8分

令，则

当，由得 10分

所以，在上单调递减，在上单调递增

因此， 11分

由，比较可知

所以，当时，函数有两个零点. 14分

考点：导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性、最值，直线与圆锥曲线的位置关系，转化与划归思想.