Question

在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，∥，，．在梯形中，∥，且，⊥平面．

（1）求证：；

（2）若二面角为，求的长．

Answer

（1）证明：见解析；（2）的长为．

【解析】

试题分析：（1）在中,应用余弦定理得,从而得到．

再利用⊥平面，平面

得．

由⊥平面，平面得到．

（2）建立空间直角坐标系,利用“空间向量方法”得到，解得．

试题解析：（1）证明：在中,

所以,由勾股定理知所以 ． 2分

又因为 ⊥平面，平面

所以 ． 4分

又因为 所以 ⊥平面，又平面

所以 ． 6分

（2）因为⊥平面，又由（1）知，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .

设，则,,，,，

. 8分

设平面的法向量为，则 所以

令.所以. 9分

又平面的法向量 10分

所以， 解得 ． 11分

所以的长为． 12分

考点：直线与平面垂直，余弦定理，空间向量的应用.