Question

已知椭圆：（）的焦距为，且过点（，），右焦点为．设，是上的两个动点，线段的中点的横坐标为，线段的中垂线交椭圆于，两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）求的取值范围．

Answer

（1）；（2）的取值范围为．

【解析】

试题分析：（I）利用椭圆的几何性质，建立的方程组即得；

（2） 讨论当直线AB垂直于轴时，直线AB方程为，此时、 ，得．

当直线不垂直于轴时，设直线的斜率为()， ()， ，，利用“点差法”，首先得到；

得到 的直线方程为．即．

联立 消去 ，整理得．

设 ，，应用韦达定理，得到．

根据在椭圆的内部，得到

进一步得到的取值范围为．

试题解析：（1） 因为焦距为，所以．因为椭圆过点（，），

所以．故， 2分

所以椭圆的方程为 4分

（2） 由题意，当直线AB垂直于轴时，直线AB方程为，此时、 ，得． 5分

当直线不垂直于轴时，设直线的斜率为()， ()， ，

由 得，则，

故． 6分

此时，直线斜率为， 的直线方程为．

即．

联立 消去 ，整理得．

设 ，

所以，． 9分

于是

． 11分

由于在椭圆的内部，故

令，，则． 12分

又，所以．

综上，的取值范围为． 13分

考点：椭圆的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理，平面向量的数量积.