Question

已知函数．

（1）设是函数的极值点，求的值并讨论的单调性；

（2）当时，证明：＞．

Answer

（1）函数 在上单调递减，在上单调递增．

（2）见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据是的极值点得，可得导函数值为0，即，求得．进一步讨论导函数为正、负的区间，即得解；

（2）可以有两种思路，一种是注意到当，时，，

转化成证明当时，＞．

研究函数当时， 取得最小值且．

证得，==．

得证.

第二种思路是：当，时，，根据,转化成．

构造函数，研究得到函数在时取唯一的极小值即最小值为．达到证明目的.

试题解析：（1），由是的极值点得，

即，所以． ２分

于是，，

由知 在上单调递增，且，

所以是的唯一零点． ４分

因此，当时，；当时，，所以，函数 在上单调递减，在上单调递增． ６分

（2）解法一：当，时，，

故只需证明当时，＞． ８分

当时，函数在上单调递增，

又，

故在上有唯一实根，且． 10分

当时，；当时，，

从而当时， 取得最小值且．

由得,． 12分

故

==．

综上，当时，． 14分

解法二：当，时，，又,所以

． ８分

取函数，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，得函数在时取唯一的极小值即最小值为． 12分

所以，而上式三个不等号不能同时成立，故＞． 14分

考点：应用导数研究函数的单调性、最值、证明不等式，转化与划归思想.