Question

已知是二次函数，不等式的解集是，且在点处的切线与直线平行．

(1)求的解析式；

(2)是否存在t∈N^*，使得方程在区间内有两个不等的实数根？

若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）.

（2）存在唯一的自然数，使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根.

【解析】

试题分析：（1）根据是二次函数，及不等式的解集是，

可设，. 再根据函数在切点的斜率就是该点处的导函数值，可建立

方程，解得.

（2）首先由（1）知，方程等价于方程.

构造函数，通过“求导数、求驻点、讨论导数值的正负”明确函数的单调区间，通过计算，

认识方程有实根的情况.

试题解析：（1）∵是二次函数，不等式的解集是，

∴可设，.

∴. 2分

∵函数在点处的切线与直线平行，

∴.

∴，解得.

∴. 5分

（2）由（1）知，方程等价于方程 6分

设，

则. 7分

当时，，函数在上单调递减；

当时，，函数在上单调递增. 9分

∵，

∴方程在区间，内分别有唯一实数根，在区间

内没有实数根. 12分

∴存在唯一的自然数，使得方程

在区间内有且只有两个不等的根. 13分

考点：二次函数，导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性.