Question

已知椭圆的左、右焦点分别为，且，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点．

(1)求椭圆方程；

(2)设椭圆与直线相交于不同的两点M、N，又点，当时，求实数m的取值范围，

Answer

（1）.

（2）时，的取值范围是；时，的取值范围是

【解析】

试题分析：（1）由已知，可得，，

利用，即得，，求得椭圆方程.

（2）应注意讨论和的两种情况.

首先当时，直线和椭圆有两交点只需；

当时，设弦的中点为分别为点的横坐标，

联立，得,

注意根据，确定 ① 平时解题时，易忽视这一点.

应用韦达定理及中点坐标公式以及 得到 ②，

将②代入①得，解得， 由②得 ，

故所求的取值范围是.

试题解析：（1）由已知，可得，，

∵，∴，，

∴. 4分

（2）当时，直线和椭圆有两交点只需； 5分

当时，设弦的中点为分别为点的横坐标，由，得,

由于直线与椭圆有两个不同的交点，所以

，即 ① 7分

9分

又 ②， 10分

将②代入①得，解得， 由②得 ，

故所求的取值范围是. 12分

综上知，时，的取值范围是；

时，的取值范围是 13分

考点：椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，不等式解法.