Question

近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录．为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足(其中，a为正常数)．已知生产该产品还需投入成本10+2P万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为元／件．

(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；

(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．

Answer

（1），（）.

（2）当时, 促销费用投入1万元时，厂家的利润最大;

当时,促销费用投入万元时，厂家的利润最大 .

【解析】

试题分析：（1）由题意得到， 将代入化简即得

，（）.

（2）将原函数变形，应用基本不等式，，

当且仅当时，上式取等号.根据，讨论，, 的不同情况，确定最大利润.

试题解析：（1）由题意知， ，

将代入化简得：

，（）， 6分

（2），

当且仅当时，上式取等号. 9分

当时, 促销费用投入1万元时，厂家的利润最大;

当时, 在上单调递增,所以在时,函数有最大值．促销费用投入万元时，厂家的利润最大 .

综上述,当时, 促销费用投入1万元时，厂家的利润最大;

当时,促销费用投入万元时，厂家的利润最大 . 12分

考点：函数的应用问题，基本不等式.