Question

已知函数．

(1)若曲线在x=l和x=3处的切线互相平行，求a的值及函数的单调区间；

(2)设，若对任意，均存在，使得，求实数a的取值范围．

Answer

（1）单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）.

【解析】

试题分析：（1）首先依题意求得，确定函数的解析式，

进一步求导数：，求驻点，分区间讨论导数值的正负，确定得到单调区间.

（2）将问题加以转化：若要命题成立，只须当时，.

由可知， 当时,

所以只须.

问题进一步转化成确定的最大值，注意到，

分时， 时，时， 时，分别讨论.

试题解析：（1），

由得， 3分

所以：单调递增区间为，，

单调递减区间为. 6分

（2）若要命题成立，只须当时，.

由可知， 当时,

所以只须. 8分

对来说，，

①当时，

当时，显然，满足题意，

当时，令，

，所以递减，所以，满足题意，

所以满足题意； 10分

②当时，在上单调递增，

所以得 ， 12分

综上所述， . 13分

考点：导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性、最值.