Question

椭圆与双曲线有公共的焦点，过椭圆E的右顶点作任意直线l，设直线l交抛物线于M、N两点，且．

(1)求椭圆E的方程；

(2)设P是椭圆E上第一象限内的点，点P关于原点O的对称点为A、关于x轴的对称点为Q，线段PQ与x轴相交于点C，点D为CQ的中点，若直线AD与椭圆E的另一个交点为B，试判断直线PA，PB是否相互垂直？并证明你的结论．

Answer

(1) ；(2) .证明见解析.

【解析】

试题分析：(1)设点,

设直线 ,代入并整理得

利用

解得，再由求得.

(2) 首先判断得出.可通过证明或，达到目的.

设,得到,且

将直线的方程代入椭圆的方程并整理得到由得证.

试题解析：(1)设点,

设直线 ,代入并整理得

所以 2分

故有

解得 5分

又椭圆与双曲线有公共的焦点，故有

所以椭圆的方程为 . 7分

(2)

证明：设,则,且

将直线的方程代入椭圆的方程并整理得

9分

由题意可知此方程必有一根

,

所以 12分

故有 , 即 13分

考点：椭圆的标准方程，平面向量的坐标运算，直线与抛物线的位置关系.