Question

已知抛物线的顶在坐标原点，焦点到直线的距离是

（1）求抛物线的方程；

（2）若直线与抛物线交于两点，设线段的中垂线与轴交于点 ，求的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）已知点到直线的距离利用距离公式 可求得,可直接写出抛物线方程; （2）把直线方程与抛物线方程联立整理成二次方程,用韦达定理可求出线段中点的坐标,再写出中垂线方程,即可求出直线与轴交点的纵坐标,利用二次函数求值域的方法可求出的范围.这个过程中不用讨论判别式,不用讨论斜率,值域也是二次函数的值域问题,是直线与圆锥曲线中的较易者.

试题解析：（1）由题意，，故

所以抛物线的方程为.

（2）设,则由得,

则，所以线段 的中点坐标为，

线段的中垂线方程为 ,

即，令，则 ,

所以.

考点：直线与抛物线的位置关系.