Question

如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面底面，且为等腰直角三角形，，、分别为、的中点.

（1）求证：//平面 ；

（2）若线段中点为,求二面角的余弦值.

Answer

(1)证明见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）要证//平面,可证明与平面内的一条直线平行,边结由中位线定理得这条直线就是.（2）以中点为原点建立空间直角坐标系, 由侧面底面可得为平面的法向量，写出各点坐标与平面内两条直线所在直线的方向向量从而可求出平面的法向量,求二面角的余弦值可用向量法.

试题解析：（1）证明：连接，

因为是正方形，为的中点，所以过点，且也是 的中点，

因为是的中点，所以中，是中位线，所以 ,

因为平面，平面，所以平面,

（2）取的中点，建如图坐标系，则相应点的坐标分别为

所以

因为侧面底面，为平面的法向量，

设 为平面的法向量，

则由∴

∴

设二面角的大小,则为锐角，

则．

即二面角的余弦值为．

考点：1、线面平行的证明；2、二面角的求法.