Question

已知函数.

（1）设函数求的极值.

（2）证明：在上为增函数。

Answer

（1） 当时，无极值；当时，在处取得极小值，无极大值。 （2）见解析

【解析】

试题分析：（1） ,在求极值时要对参数讨论,显然当时为增函数,无极值,当时可求得的根,再讨论两侧的单调性; （2）要证明增函数,可证明恒正,可再次对函数进行求导研究其单调性与最值,只要说明的最小值恒大于等于0即可.已知函数在一个区间上的单调性,可转化为导函数在这个区间上恒正或恒负问题,变为一个恒成立问题,可用相应函数的整体最值来保证,若求参数范围可以采用常数分离法.

试题解析：（1）由题意：

①当时，，为上的增函数，所以无极值。

②当时，令得，

，；，

所以在上单调递减，在上单调递增

所以在处取得极小值，且极小值为，无极大值

综上，当时，无极值；当，在处取得极小值，无极大值。

（2）由

设，则

所以时，；时，

所以在上单调递减,在上单调递增,

所以即在上单调递增.

考点：1、函数的极值最值求法；2、构造函数解决新问题.