Question

已知椭圆的离心率为，且经过点，圆的直径为的长轴.如图，是椭圆短轴端点，动直线过点且与圆交于两点，垂直于交椭圆于点.

（1）求椭圆的方程；

（2）求 面积的最大值，并求此时直线的方程.

Answer

（1） （2）

【解析】

试题分析：（1）已知椭圆的离心率为即可得到与的关系式,再结合椭圆过点,代入椭圆方程组成方程组可求解得到椭圆方程; （2） 要求面积可先求两个弦长度,是一直线与圆相交得到的弦长,可采用圆的弦长公式,而是椭圆的弦长,使用公式求解,把面积表示成变量的函数, 求其最值时可用换元法求解.对当斜率为0时要单独讨论.

试题解析：（1）由已知得到,所以,即.

又椭圆经过点,故,

解得,

所以椭圆的方程是

（2）因为直线且都过点

①当斜率存在且不为0时,设直线,直线,即,

所以圆心到直线的距离为,所以直线被圆所截弦

由得, ,

所以,

,

所以,

令,则,

,

当,即时,等号成立,

故面积的最大值为,此时直线的方程为,

②当斜率为0时,即,此时,

当的斜率不存在时,不合题意;

综上, 面积的最大值为,此时直线的方程为.

考点：直线与圆的位置关系,弦长公式,换元法求函数最值.