Question

已知点在椭圆:上，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的右焦点，且，其中为坐标原点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点，设是椭圆上的一点，过、两点的直线交轴于点,若, 求直线的方程;

（3）作直线与椭圆:交于不同的两点,,其中点的坐标为,若点是线段垂直平分线上一点,且满足,求实数的值.

Answer

（1）. (2) 或； （3）或.

【解析】

试题分析：（1）由题意知,在中, 可得.

设为圆的半径,为椭圆的半焦距

由建立方程组，,解得:.

根据点在椭圆上,有结合,解得.

(2)由题意知直线的斜率存在,故设直线方程为

设,利用 ,求得代人椭圆方程求 .

（3）根据: , 设.

根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为,则直线的方程为

把它代入椭圆的方程,消去,整理得:

由韦达定理得,则,

所以线段的中点坐标为

注意讨论，的情况，确定的表达式，求得实数的值.

方法比较明确，运算繁琐些；分类讨论是易错之处.

试题解析：（1）由题意知,在中,

由得:

设为圆的半径,为椭圆的半焦距

因为所以

又,解得:,则点的坐标为 2分

因为点在椭圆：上,所以有

又,解得:

所求椭圆的方程为. 4分

(2)由(1)知椭圆的方程为

由题意知直线的斜率存在,故设其斜率为,

则其方程为

设,由于,所以有

7分

又是椭圆上的一点,则

解得

所以直线的方程为或 9分

（3）由题意知: :

由, 设

根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为,则直线的方程为

把它代入椭圆的方程,消去,整理得:

由韦达定理得,则,

所以线段的中点坐标为

(1)当时, 则有,线段垂直平分线为轴

于是

由,解得: 11分

(2) 当时, 则线段垂直平分线的方程为

因为点是线段垂直平分线的一点

令,得:

于是

由,解得:

代入,解得:

综上, 满足条件的实数的值为或. 14分

考点：椭圆的定义，椭圆的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，平面向量的坐标运算.