Question

如图，四棱锥中,面，、分别为、的中点，，.

（1）证明：∥面；

（2）求面与面所成锐角的余弦值.

Answer

(1)见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）(1) 利用三角形中位线定理，得出∥ .

（2）利用平几何知识，可得一些线段的长度及，进一步以为轴建立坐标系，

得到，

确定面与面的法向量、：

由，可得令；

由又，可得令，进一步得到.

本题首先探究几何体中的线面、线线垂直关系，创造建立空间直角坐标系的条件，应用“向量法”，确定二面角的余弦值.

解答本题的关键是确定“垂直关系”，这也是难点所在，平时学习中，应特别注意转化意识的培养，能从“非规范几何体”，探索得到建立空间直角坐标系的条件.

试题解析：(1)因为、分别为、的中点，

所以∥ 2分

因为面，面

所以∥面 4分

（2）因为

所以

又因为为的中点

所以

所以

得，即 6分

因为，所以

分别以为轴建立坐标系

所以

则 8分

设、分别是面与面的法向量

则，令

又，令 11分

所以 12分

考点：直线与平面、平面与平面垂直，二面角的定义，空间向量的应用.