Question

已知函数．

（1）求的最小值；

（2）当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时，这样的区间称为函数的保值区间.设，试问函数在上是否存在保值区间？若存在，请求出一个保值区间；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）在处取得最小值．

（2）函数在上不存在保值区间,证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）求导数，解得函数的减区间；

解，得函数的增区间．

确定在处取得最小值．

也可以通过“求导数、求驻点、研究函数的单调区间、确定极值（最值）” .

（2）函数在上不存在保值区间.

函数存在保值区间即函数存在自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同.因此，可以假设函数存在保值区间,研究对应函数值的取值区间.在研究函数值取值区间过程中，要么得到肯定结论，要么得到矛盾结果.本题通过求导数：，明确时， ，得到所以为增函数，因此

转化得到方程有两个大于的相异实根，构造函数 后知其为单调函数，推出矛盾，作出结论.

试题解析：

（1）求导数，得．

令，解得． 2分

当时，，所以在上是减函数；

当时，，所以在上是增函数．

故在处取得最小值． 6分

（2）函数在上不存在保值区间,证明如下：

假设函数存在保值区间,

由得：

因时， ，所以为增函数，所以

即方程有两个大于的相异实根 9分

设

因，，所以在上单增

所以在区间上至多有一个零点 12分

这与方程有两个大于的相异实根矛盾

所以假设不成立，即函数在上不存在保值区间. 13分

考点：新定义问题，应用导数研究函数的单调性、最（极）值，转化与化归思想，间接推理.