Question

设,分别是椭圆：的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于,两点, 到直线的距离为,连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点，设是椭圆上的一点，过、两点的直线交轴于点,若, 求的取值范围；

（3）作直线与椭圆交于不同的两点,,其中点的坐标为,若点是线段垂直平分线上一点,且满足,求实数的值.

Answer

（1）；（2）或； （3）满足条件的实数的值为或.

【解析】

试题分析：（1）设,的坐标分别为,其中

由题意得的方程为:

根据到直线的距离为,可求得，

将与联立即可得到.

（2）设,，由可得，代人椭圆的方程得，即可解得或.

（3）由, 设，根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为,则直线的方程为，代入椭圆的方程,整理得:

由韦达定理得,则,

得到线段的中点坐标为.注意讨论，的情况，确定的表达式，求得实数的值.

方法比较明确，运算繁琐些；分类讨论是易错之处.

试题解析：（1）设,的坐标分别为,其中

由题意得的方程为:

因到直线的距离为,所以有,解得 2分

所以有 ①

由题意知: ,即 ②

联立①②解得:

所求椭圆的方程为 4分

（2）由(1)知椭圆的方程为

设,，由于,所以有

7分

又是椭圆上的一点,则

所以

解得：或 9分

（3）由, 设

根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为,则直线的方程为

把它代入椭圆的方程,消去,整理得:

由韦达定理得,则,

所以线段的中点坐标为

(1)当时, 则有,线段垂直平分线为轴

于是

由,解得: 11分

(2) 当时, 则线段垂直平分线的方程为

因为点是线段垂直平分线的一点

令,得:

于是

由,解得:

代入,解得:

综上, 满足条件的实数的值为或. 14分

考点：椭圆的几何性质，点到直线的距离公式，直线与圆锥曲线的位置关系，平面向量的坐标运算.