Question

如图几何体中,四边形为矩形，，，，，为的中点，为线段上的一点，且.

（1）证明：面；

（2）证明：面面；

（3）求三棱锥的体积.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）连接交于点，得知为的中点，连接

根据点为中点，利用三角形中位线定理，得出，进一步得到

面.

（2）首先探究几何体中的线面、线线垂直关系，创造建立空间直角坐标系的条件，应用“向量法”，确定二面角的余弦值.

解答本题的关键是确定“垂直关系”，这也是难点所在，平时学习中，应特别注意转化意识的培养，能从“非规范几何体”，探索得到建立空间直角坐标系的条件.

试题解析：（1）连接交于点，则为的中点，连接

因为点为中点，所以为的中位线，

所以 2分

面，面，

所以面 4分

（2）取中点，的中点，连接，则，

所以共面

作于，于，则且

，

和全等，

和全等，

，为中点，

又，，面

，面 6分

以为原点，为轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，设，则，

，

设面的法向量

，

由，令

8分

设面的法向量

，

由，令

10分

设二面角的平面角为，

则 12分

考点：直线与平面、平面与平面垂直，二面角的定义，空间向量的应用.