Question

已知椭圆与的离心率相等. 直线与曲线交于两点（在的左侧），与曲线交于两点（在的左侧）,为坐标原点，．

（1）当=，时，求椭圆的方程；

（2）若，且和相似，求的值．

Answer

（1）的方程分别为，．（2）.

【解析】

试题分析：（1）由于已知中明确了曲线方程的形式，所以，关键是建立“待定系数”.由已知建立方程组即可得解.

（2）由于三角形相似，因此要注意利用对应边成比例，并结合，建立的方程.将与方程，联立可得在坐标关系．

利用，得到 .

根据椭圆的对称性可知：，，又和相似，得到，

于是从出发，得到，即的方程.

试题解析：

（1）∵的离心率相等，

∴,∴， 2分

，将分别代入曲线方程，

由，

由.

当=时，,．

又∵,.

由 解得.

∴的方程分别为，． 5分

（2）将代入曲线得

将代入曲线得，

由于，

所以,，，．

，，

8分

根据椭圆的对称性可知：，， 又和相似，

，

，

由化简得

代入得 13分

考点：椭圆的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，平面向量的数量积.