Question

已知函数.

（1）当时，求曲线在点的切线方程；

（2）对一切,恒成立,求实数的取值范围；

（3）当时，试讨论在内的极值点的个数.

Answer

(1) ；(2)实数的取值范围为；

(3)当，在内的极值点的个数为1；当时, 在

内的极值点的个数为0.

【解析】

试题分析：(1)切点的导函数值，等于过这点的切线的斜率，由直线方程的点斜式即得所求.

(2)由题意:,转化成，只需确定的最大值.

设,利用导数研究其最大值.

(3)极值点处的导函数值为零.

问题可转化成研究在内零点的个数.

注意到， ，因此，讨论，时，在内零点的个数，使问题得解.

本题主要考查导数的应用，方法比较明确，分类讨论、转化与化归思想的应用，是解决问题的关键.

试题解析：(1) 由题意知,所以

又，

所以曲线在点的切线方程为 4分

(2)由题意:,即

设,则

当时,；当时,

所以当时，取得最大值

故实数的取值范围为. 9分

(3) ，，

①当时, ∵

∴存在使得

因为开口向上，所以在内,在内

即在内是增函数, 在内是减函数

故时，在内有且只有一个极值点, 且是极大值点. 11分

②当时,因

又因为开口向上

所以在内则在内为减函数，故没有极值点 13分

综上可知：当，在内的极值点的个数为1；当时, 在

内的极值点的个数为0. 14分

考点：应用导数研究函数的单调性、最（极）值，转化与化归思想，函数零点存在定理.