Question

已知是等差数列，首项，前项和为.令,的前项和.数列是公比为的等比数列，前项和为，且，.

（1）求数列、的通项公式；

（2）证明：.

Answer

(1) ，；(2)见解析.

【解析】

试题分析：(1)首先设等差数列的公差为，由已知建立的方程，求得，写出等差数列的通项公式；进一步确定等比数列的公比，求得等比数列的通项公式.

(2)求得，将不等式加以转化成，

即证：.注意到这是与自然数有关的不等式证明问题，故考虑应用数学归纳法.

很明显时，，因此用数学归纳法证明：当时，.

试题解析：(1)设等差数列的公差为，因为

所以

则

则

解得，所以 4分

所以，

所以 6分

(2)由(1)知，

要证，

只需证

即证： 8分

当时，

下面用数学归纳法证明：当时，

（1）当时，左边，右边，左右，不等式成立

（2）假设，

则时，

时不等式成立

根据（1）（2）可知：当时，

综上可知：对于成立

所以 12分

考点：等差数列、等比数列的通项公式及其求和公式，数学归纳法.