Question

已知椭圆的中心为原点，离心率，其一个焦点在抛物线的准线上，若抛物线与直线相切．

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）当点在椭圆上运动时，设动点的运动轨迹为．若点满足：，其中是上的点，直线与的斜率之积为，试说明：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）

（2）存在两个定点，且为椭圆的两个焦点，使得为定值，其坐标为．

【解析】

试题分析：（1）根据抛物线与直线相切，联立方程组并化简， 利用，求得的值，进一步可得；

应用离心率求，得解.

（2）设，，，利用“代入法”求得的轨迹方程为：.

由及确定的坐标关系，

导出，作出判断.

试题解析：

（1）由，

抛物线与直线相切，

2分

抛物线的方程为：，其准线方程为：，

离心率， ，

故椭圆的标准方程为 5分

（2）设，，

则

当点在椭圆上运动时，动点的运动轨迹

的轨迹方程为： 7分

由得

设分别为直线，的斜率，由题设条件知

因此 9分

因为点在椭圆上，

所以，

故

所以，从而可知：点是椭圆上的点，

存在两个定点，且为椭圆的两个焦点，使得为定值，其坐标为． 13分

考点：椭圆的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，平面向量的线性运算.