Question

已知函数，函数的导函数，且，其中为自然对数的底数．

（1）求的极值；

（2）若，使得不等式成立，试求实数的取值范围；

（3）当时，对于，求证：．

Answer

(1)当时，没有极值；

当时，存在极大值，且当时，.

(2).

(3)见解析.

【解析】

试题分析：(1) 首先确定函数的定义域为，求导数．为确定函数的极值，应讨论，的不同情况.

(2) 首先求出，将问题转化成，使得成立，

引入，将问题可转化为：

利用导数求的最大值，得解.

(3)当时，，构造函数，即，

应用导数研究函数的单调性、极值，得到.

方法比较明确，分类讨论、转化与化归思想的应用，是解决问题的关键.

试题解析：(1) 函数的定义域为，．

当时，，在上为增函数，没有极值； 1分

当时，，

若时，；若时，

存在极大值，且当时，

综上可知：当时，没有极值；当时，存在极大值，且当时， 4分

(2) 函数的导函数，

，， 5分

，使得不等式成立，

，使得成立，

令，则问题可转化为：

对于，，由于，

当时，，，，

，从而在上为减函数，

9分

(3)当时，，令，则，

，且在上为增函数

设的根为，则，即

当时，，在上为减函数；当时，，在上为增函数，

，，

由于在上为增函数，

14分

考点：应用导数研究函数的单调性、最（极）值，转化与化归思想，应用导数证明不等式.