Question

已知函数.

（Ⅰ）若，求在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的极值点.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）当时,的极小值点为和，极大值点为；当时,的极小值点为；当时,的极小值点为.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）时，，先求切线斜率，又切点为，利用直线的点斜式方程求出直线方程；（Ⅱ）极值点即定义域内导数为0的根，且在其两侧导数值异号，首先求得定义域为，再去绝对号，分为和两种情况，其次分别求的根并与定义域比较，将定义域外的舍去，并结合图象判断其两侧导数符号，进而求极值点；

试题解析：的定义域为.

(Ⅰ)若，则，此时.因为，所以,所以切线方程为，即.

（Ⅱ）由于，.

⑴ 当时，，，

令，得，（舍去），

且当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增,的极小值点为.

⑵ 当时，.

① 当时，，令，得,(舍去).

若，即，则，所以在上单调递增；

若，即， 则当时，；当时，，所以在区间上是单调递减，在上单调递增，的极小值点为.

② 当时，.

令，得，记，

若，即时，，所以在上单调递减；

若，即时，则由得，且，

当时，；当时，；当时，，

所以在区间上单调递减，在上单调递增；在上单调递减.

综上所述,当时,的极小值点为和，极大值点为；

当时,的极小值点为；

当时,的极小值点为.

考点：1、导数的几何意义；2、函数的极值和最值；3、导数在函数单调性上的应用.