Question

如图，四边形是正方形，平面，，，，，分别为，，的中点．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的大小.

Answer

（1）证明详见解答；（2）（或）.

【解析】（1）有单侥幸的中位线定理可证FG∥PE,再根据直线与平面平行的判定定理求证结论即可.

(2)建立适当的空间直角坐标系，写出点的坐标，求出相应向量的的坐标.然后分别出平面和平面的一个法向量，最后根据向量的夹角公式求得二面角的平面角大小.

试题分析：

试题解析：(1）证明：,分别为，的中点，

. 1分

又平面，平面， 3分

平面. 5分

（2）解:平面，，平面

平面，.

四边形是正方形，.

以为原点,分别以直线为轴, 轴,轴

建立如图所示的空间直角坐标系，设 7分

,

，，，，，,

,.

，， 分别为，，的中点，

，，,, 8分

（解法一)设为平面的一个法向量，则,

即，令，得. 10分

设为平面的一个法向量,则,

即，令，得. 12分

所以==. 13分

所以平面与平面所成锐二面角的大小为（或）. 14分

（解法二) ，,

是平面一个法向量. 10分

，,

是平面平面一个法向量. 12分

13分

平面与平面所成锐二面角的大小为（或）. 14分

（解法三) 延长到使得连

，，

四边形是平行四边形，

四边形是正方形，

，分别为，的中点，

平面，平面， 平面. 7分

平面平面平面 9分

故平面与平面所成锐二面角与二面角相等. 10分

平面平面

平面是二面角的平面角. 12分

13分

平面与平面所成锐二面角的大小为（或）. 14分

考点：1.直线与平面的平行的判定；（2）直线与平面垂直的性质，（3）向量的坐标运算及其夹角.