Question

在平面直角坐标系中，已知点及直线，曲线是满足下列两个条件的动点的轨迹：①其中是到直线的距离；②

(1) 求曲线的方程;

(2) 若存在直线与曲线、椭圆均相切于同一点，求椭圆离心率的取值范围.

Answer

（1） ；（2）

【解析】

试题分析：（1）求出是到直线的距离d和的表达式，由=2d建立等式，整理得在把代入中求出x的取值范围即可.

（2）由导数的几何意义求出直线m的斜率，求出直线m的参数方程，然后代入曲线C2方程中，消去y得到关于x的一元二次方程，由直线与椭圆相切，所以△==0，而又二者联立起来解出a2，b2，由a2>b2，求出参数t的取值范围，在根据椭圆离心率e的定义就可求出其范围.

试题解析：【解析】
（1），

， 2分

由①得：

，

即 4分

将代入②得：，

解得：

所以曲线的方程为： 6分

（2）(解法一)由题意，直线与曲线相切，设切点为，

则直线的方程为，

即 7分

将代入椭圆 的方程，并整理得：

由题意，直线与椭圆相切于点，则

，

即 9分

又 即 联解得： 10分

由及得

故， 12分

得又故

所以椭圆离心率的取值范围是 14分

（2）(解法二)设直线与曲线、椭圆 均相切于同一点则 7分

由知;

由知,

故 9分

联解,得 10分

由及得

故， 12分

得又故

所以椭圆离心率的取值范围是 14分

考点：1.点到直线的距离和曲线方程；2.由导数的几何意义；3.直线与曲线的位置关系.