Question

已知函数，其中是自然对数的底数.

（1）求函数的零点；

（2）若对任意均有两个极值点，一个在区间内，另一个在区间外，

求的取值范围；

（3）已知且函数在上是单调函数，探究函数的单调性.

Answer

（1）① 当时，函数有1个零点： ② 当时，函数有2个零点： ③ 当时，函数有两个零点： ④ 当时，函数有三个零点：（2）（3）探究详见解析.

【解析】

试题分析：（1）令n=1，n=2，求出g（x）的表达式，在分类求出g（x）=0的解即可.

（2）对函数求导，，对其分母构造函数，则=0由有一根在内，另一个在区间外，可得,即,解出a即可.

（3）由（2）可知存在 ，结合已知条件，可得函数在上是单调减函数, 所 的分子的值小于等于0，其相应的判别式小于等于0，在结合已知可证得 即可.

试题解析：（1），

① 当时，函数有1个零点： 1分

② 当时，函数有2个零点： 2分

③ 当时，函数有两个零点： 3分

④ 当时，函数有三个零点：

4分

（2） 5分

设，的图像是开口向下的抛物线.

由题意对任意有两个不等实数根，

且

则对任意,即, 7分

又任意关于递增,,

故

所以的取值范围是 9分

（3）由(2)知, 存在，又函数在上是单调函数，故函数在上是单调减函数, 10分

从而即 11分

所以

由知 13分

即对任意

故函数在上是减函数. 14分

考点：1.函数的零点；2.函数的导数；3.单数性质的应用.