Question

已知顶点为原点的抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，与在第一和第四象限的交点分别为.

（1）若△AOB是边长为的正三角形，求抛物线的方程；

（2）若，求椭圆的离心率；

（3）点为椭圆上的任一点，若直线、分别与轴交于点和，证明：．

Answer

（1）；（2）；（3）证明过程详见试题解析.

【解析】

试题分析：（1）由△AOB是边长为的正三角形得到,代入抛物线方程中，可以得到所求抛物线方程为；（2）由可知点的横坐标是，因此可结合建立关于的方程为：，解出；（3）利用设而不求的思想，可先设三点后代入椭圆方程中，由于的方程为，求出，，那么化简后得到：.

试题解析：（1）设椭圆的右焦点为，依题意得抛物线的方程为

∵△是边长为的正三角形，

∴点A的坐标是，

代入抛物线的方程解得，

故所求抛物线的方程为

（2）∵, ∴ 点的横坐标是

代入椭圆方程解得，即点的坐标是

∵ 点在抛物线上，

∴，

将代入上式整理得：，

即，解得

∵ ，故所求椭圆的离心率.

（3）证明：设，代入椭圆方程得

而直线的方程为

令得.

在中，以代换得

∴ .

考点：圆锥曲线；直线与圆锥曲线的位置关系.