Question

已知．

（1）若存在单调递减区间，求实数的取值范围；

（2）若,求证：当时，恒成立；

（3）利用（2）的结论证明：若，则.

Answer

（1）；（2）证明过程详见试题解析；（3）证明过程详见试题解析.

【解析】

试题分析：（1）当时， ∴. ∵ 有单调减区间，∴有解.分两种情况讨论有解.可得到的取值范围是；（2）此问就是要证明函数在上的最大值小于或等于，经过求导讨论单调性得出当时，有最大值，命题得证；（3）利用（2）的结论，将此问的不等关系，转化成与（2）对应的函数关系进行证明.

试题解析：（1）当时，

∴.

∵ 有单调减区间，∴有解，即

∵ ，∴ 有解.

（ⅰ）当时符合题意；

（ⅱ）当时，△，即。

∴的取值范围是.

（2）证明：当时，设，

∴ .

∵，

讨论的正负得下表：

∴当时有最大值0.

即恒成立.

∴当时，恒成立.

（3）证明：∵，

∴

由（2）有

∴.

考点：函数与导数；不等式综合.