Question

如图，三棱柱中，△ABC是正三角形，，平面平面，.

（1）证明：；

（2）证明：求二面角的余弦值；

（3）设点是平面内的动点，求的最小值．

Answer

（1）证明过程详见试题解析；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）如图，取的中点,连结、,

因为是正三角形，所以,又因为,所以;由,那么,所以;（2）由（1）结合条件可以得到就是二面角的平面角，在直角三角形中，有,又那么在直角三角形中，可根据勾股定理求出,那么;（3）以为坐标原点建立直角平面坐标系，要使得最小，就是要找出点关于平面的对称点,求出即可.因此建立如解析中空间直角坐标系求.

试题解析：（1）证明：∵ ，△是正三角形，

∴ ，

∴ ,

又∵ ,∴△是正三角形，

取中点，连结、，则

又∵，

∴,

又∵,

∴

（2）证明：∵，由（1）知，

∴，

∴；

∵

∴

∵,∴ ，

在

∴

（3）【解析】
延长至使，连结、、，

以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则点的坐标为，的坐标是，

则就是的最小值，

考点：立体几何中的垂直问题；成角问题；距离问题.