Question

已知顶点为原点的抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合与在第一和第四象限的交点分别为.

（1）若△AOB是边长为的正三角形，求抛物线的方程；

（2）若，求椭圆的离心率；

（3）点为椭圆上的任一点，若直线、分别与轴交于点和，证明：．

Answer

（1）；（2）；（3）证明过程详见试题解析.

【解析】

试题分析：（1）由△AOB是边长为的正三角形得到,代入抛物线方程中，可以得到所求抛物线方程为；（2）由可知点的横坐标是，因此可结合建立关于的方程为：，解出；（3）利用设而不求的思想，可先设三点后代入椭圆方程中，由于的方程为，求出，，那么化简后得到：.

试题解析：（1）设椭圆的右焦点为，依题意得抛物线的方程为

∵△是边长为的正三角形，

∴点A的坐标是，

代入抛物线的方程解得，

故所求抛物线的方程为

（2）∵, ∴ 点的横坐标是

代入椭圆方程解得，即点的坐标是

∵ 点在抛物线上，

∴，

将代入上式整理得：，

即，解得

∵ ，故所求椭圆的离心率.

（3）证明：设，代入椭圆方程得

而直线的方程为

令得.

在中，以代换得

∴ .

考点：圆锥曲线；直线与圆锥曲线的位置关系.