Question

已知椭圆的左、右焦点分别为、，为原点.

（1）如图1，点为椭圆上的一点，是的中点，且，求点到轴的距离；

（2）如图2，直线与椭圆相交于、两点，若在椭圆上存在点，使四边形为平行四边形，求的取值范围．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）先设点的坐标，并利用点的坐标来表示点的坐标，利用以及点在椭圆上列方程组求解点的坐标，从而求出点到轴的距离；（2）先设点、，利用为平行四边形，得到，将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理与点在椭圆上这一条件，列相应等式求出实数的取值范围.

试题解析：（1）由已知得、，

设，则的中点为，

，，即，

整理得，①，又有，②

由①②联立解得或（舍）

点到轴的距离为；

（2）设，，，

四边形是平行四边形

线段的中点即为线段的中点，即，，

点在椭圆上，，

即，

化简得，

由得，

由得，④

且，代入③式得，

整理得代入④式得，又，或，

的取值范围是.

考点：1.直线与椭圆的位置关系；2.韦达定理