Question

已知数列的各项都是正数，且对任意都有，其中为数列的前项和.

（1）求、；

（2）求数列的通项公式；

（3）设，对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1），；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）分别令和代入题干中的等式求出和的值；（2）利用定义法进行求解，在原式中利用替换得到，将此等式与原式作差得到

，再次利用定义法得到数列为等差数列，最后利用等差数列的通项公式进行求解；（3）利用化简得到，对进行分奇偶讨论求出的取值范围.

试题解析：（1）令，则，即，所以或或，

又因为数列的各项都是正数，所以，

令，则，即，解得或或，

又因为数列的各项都是正数，所以，

（2）， ①

， ②

由①②得，

化简得到， ③

，④

由③④得，

化简得到，即，

当时，，所以，

所以数列是一个以为首项，为公差的等差数列，

；

（3），

因为对任意的，都有恒成立，即有，

化简得，

当为奇数时，恒成立，，即，

当为偶数时，恒成立，，即，

，故实数的取值范围是.

考点：1.定义法求数列的通项公式；2.数列不等式恒成立；3.分类讨论