Question

为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）;……;第五组[17，18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如图3所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19，且第二组的频数为8.

（1）将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在[16，17）内的人数；

（2）求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；

（3）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率.

Answer

(1)320 (2)50 (3)

【解析】

试题分析：

(1)根据频率分布直方图可以得到第三组[16，17）的纵坐标和组距,相乘即可得到频率,再与总数相乘即可得到该组的频数,即该年段学生中百米成绩在[16，17）内的人数.

(2)分别设出前三个组的频率,根据三个组的频率之比为和五个组的频率之和为1即可得到前三个组各自的频率,再根据第二组的频率等于频数与总数之比可求的总数,即得到了随机抽取的总数.

(3)利用(1)(2)的结果可求出第一组与第五组各自的频数(即人数),编号并列出抽取两人的所有基本事件数和符合题目要求(即两人来自不同的组)的基本事件数,根据古典概型的概率计算公式即可求出相应的概率.

试题解析：

(1)由频率分布直方图可得在抽取的样本中学生中百米成绩在[16，17）内的频率为,则该年段学生中百米成绩在[16，17）内的人数为.

(2)设前三个组的频率分别为x,y,z.则有 ,所以第二组的频率为0.16,又因为第二组的频数为8,所以随机抽取的学生人数为,故随机抽取了50名学生的百米长跑成绩.

(3)由(1)(2)可得到第一组的频数为,第五组的频数为,分别编号为A,B,C,D,E,F,G(其中第一组为A,B,C),从这7名同学成绩中选取两人的基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(A,G),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(B,G),(C,D),(C,E),(C,F),(C,G), (D,E),(D,F),(D,G),(E,F),(E,G),(F,G)共21个,而满足两个成绩的差的绝对值大于1秒的基本事件有(A,D),(A,E),(A,F),(A,G),(B,D),(B,E),(B,F),(B,G),(C,D),(C,E),(C,F),(C,G)共12个,所以根据古典概型的概率计算公式得 ,故从第一、五组中随机取出两个成绩，这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率为.

考点：古典概型 频率分布直方图 频率