Question

若函数在上为增函数（为常数），则称为区间上的“一阶比增函数”，为的一阶比增区间.

(1) 若是上的“一阶比增函数”，求实数的取值范围；

(2) 若  (，为常数)，且有唯一的零点，求的“一阶比增区间”；

(3)若是上的“一阶比增函数”，求证：，

Answer

(1) (2)

【解析】

试题分析：

(1)根据新定义可得在区间上单调递增,即导函数在区间上恒成立,则有,再利用分离参数法即可求的a的取值范围.

(2)对求导数,求单调区间,可以得到函数有最小值,又根据函数 只有一个零点,从而得到,解出的值为1,再根据的“一阶比增区间”的定义,则的单调增区间即为的“一阶比增区间”.

(3) 根据是上的“一阶比增函数”的定义,可得到函数在区间上单调递增,则由函数单调递增的定义可得到,同理有,两不等式化解相加整理即可得到.

试题解析：

(1)由题得, 在区间上为增函数,则在区间上恒成立,即,综上a的取值范围为.

(2)由题得,(),则,当时,因为,所以, .因为,所以函数 在区间上单调递减,在区间上单调递增,即 .又因为有唯一的零点,所以(使解得带入验证),故 的单调增区间为.即的“一阶比增区间”为.

(3)由题得,因为函数 为上的“一阶比增函数”,所以在区间上的增函数,又因为,所以

……,同理, ……,则+得

,所以，.

考点：单调性定义 不等式 导数 新概念