Question

设椭圆的右焦点为，直线与轴交于点，若（其中为坐标原点）．

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆上的任意一点，为圆的任意一条直径（、为直径的两个端点），求的最大值．

Answer

（1） （2）11

【解析】

试题分析：

（1）根据题意求出的坐标与A点的坐标，带入式子，即可求出a的值，进而得到椭圆M的方程.

（2）设圆的圆心为，则可以转化所求内积，

，故求求的最大值转化为求的最大值．N点为定点且坐标已知，故设出P点的坐标且满足椭圆方程，带入坐标公式利用二次函数求最值的方法即可求出NP的最值，此外还可以利用参数方程来求解NP的最值.

试题解析：

（1）由题设知，，， 1分

由，得． 2分

解得． 3分

所以椭圆的方程为． 4分

（2）方法1：设圆的圆心为，

则 5分

6分

． 7分

从而求的最大值转化为求的最大值． 8分

因为是椭圆上的任意一点，设， 9分

所以，即． 10分

因为点，所以． 11分

因为，所以当时，取得最大值12． 13分

所以的最大值为11． 14分

方法2：设点，

因为的中点坐标为，所以 5分

所以 6分

． 8分

因为点在圆上，所以，即． 9分

因为点在椭圆上，所以，即． 10分

所以． 12分

因为，所以当时，． 14分

方法3：①若直线的斜率存在，设的方程为， 5分

由，解得． 6分

因为是椭圆上的任一点，设点，所以，即 7分

所以， 8分

所以． 9分

因为，所以当时，取得最大值11． 11分

②若直线的斜率不存在，此时的方程为，

由，解得或．不妨设，，． 12分

因为是椭圆上的任一点，设点，所以，即．

所以，．

所以．

因为，所以当时，取得最大值11． 13分

综上可知，的最大值为11． 14分

考点：椭圆 最值 向量内积