Question

已知各项均为正数的数列满足, 且,其中.

(1) 求数列的通项公式；

(2) 设数列满足,是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由。

(3) 令,记数列的前项和为,其中,证明：。

Answer

（1） （2）存在且，

【解析】

试题分析：

（1）利用十字相乘法分解，得到关于的递推式，证得数学为等比数列且可以知道公比，则把公比带入式子就可以求出首项，进而得到的通项公式.

（2）由第一问可得的通项公式带入可的通项公式，结合成等比数列，满足等比中项，得到关于m,n的等式，借助m,n都为正整数，利用等式两边的范围求出n,m的范围等到m,n的值.

（3）由（1）得，带入得到，由于要得到钱n项和，故考虑把进行分离得到 ， 进而利用分组求和和裂项求和求的，观察的单调性，可得到与都关于n单调递减，进而得到关于n是单调递增的，则有，再根据的非负性，即可得到，进而证明原式.

试题解析：

(1) 因为,即 1分

又,所以有,即所以数列是公比为的等比数列. 2分

由得,解得。 3分

从而，数列的通项公式为。 4分

(2)=，若成等比数列，则， 5分

即．由，可得， 6分

所以，解得：。 7分

又，且，所以，此时．

故当且仅当，.使得成等比数列。 8分

(3)

10分

∴

12分

易知递减，∴0＜ 13分

∴，即 14分

考点：十字相乘法 等比数列 分组求和 裂项求和 不等式 单调性