Question

已知函数，，图象与轴异于原点的交点M处的切线为，与轴的交点N处的切线为， 并且与平行.

（1）求的值；

（2）已知实数t∈R，求的取值范围及函数的最小值；

（3）令，给定，对于两个大于1的正数，存在实数满足：，，并且使得不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）2 （2） （3）

【解析】

试题分析：

（1）根据题意求出f(x)，g(x-1)与x轴交点的坐标，利用切线平行，即导函数在交点处的导函数值相等，即可求出f(x)中参数a的值，进而得到f(2).

（2）可以利用求定义域，求导，求单调性与极值 对比极值与端点值得到的取值范围.进而直接用u替代中的，把问题转化为求解在区间上的最小值，即为一个含参二次函数的最值.则利用二次函数的单调性，即分对称轴在区间的左边，中，右边三种情况进行讨论得到函数的最小值.

（3）对F(x)求导求并确定导函数的符号得到函数F(x)的单调性，有了F(x)的单调性，则要得到不等式，我们只需要讨论m的范围确定的大小关系，再根据单调性得到的大小关系，判断其是否符合不等式，进而得到m的取值范围.

试题解析：

（1） 图象与轴异于原点的交点， 1分

图象与轴的交点， 2分

由题意可得， 即 ， 3分

∴， 4分

（2）= 5分

令，在 时，，

∴在单调递增， 6分

图象的对称轴，抛物线开口向上

①当即时， 7分

②当即时， 8分

③当即时，

9分

,

所以在区间上单调递增

∴时， 10分

①当时，有，

，

得，同理，

∴ 由的单调性知 、

从而有，符合题设. 11分

②当时，，

，

由的单调性知 ，

∴，与题设不符 12分

③当时，同理可得，

得，与题设不符. 13分

∴综合①、②、③得 14分

考点：二次函数 导数 单调性 最值