Question

如图所示，圆柱的高为2，底面半径为,AE、DF是圆柱的两条母线，过作圆柱的截面交下底面于,四边形ABCD是正方形.

（Ⅰ）求证；

（Ⅱ）求四棱锥E-ABCD的体积.

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据AE是圆柱的母线，所以下底面，又下底面，则

又截面ABCD是正方形，所以⊥，又⊥面，又面，即可得到BC⊥BE；

（Ⅱ）根据锥体的体积公式即可求四棱锥E-ABCD的体积．

试题解析：（Ⅰ）AE是圆柱的母线，

下底面，又下底面， .3分

又截面ABCD是正方形，所以⊥，又

⊥面，又面， （7分）

（Ⅱ）因为母线垂直于底面，所以是三棱锥的高 （8分），

由（Ⅰ）知⊥面，面，面⊥面，

又面面，面，

面，即EO就是四棱锥的高 （10分）

设正方形的边长为, 则，

又，为直径，即

在中，, 即

， （12分）

考点：1.棱柱、棱锥、棱台的体积；2.空间中直线与直线之间的垂直关系．