Question

数列{}的前n项和为，．

（Ⅰ）设，证明：数列是等比数列；

（Ⅱ）求数列的前项和；

（Ⅲ）若，．求不超过的最大整数的值.

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ） 由，令可求，时，利用可得与之间的递推关系，构造等可证等比数列；（Ⅱ）  由（Ⅰ）可求，利用错位相减法可求数列的和；（Ⅲ）由（Ⅰ）可求，进而可求，代入P中利用裂项求和即可求解

试题解析：解:(Ⅰ) 因为，

所以 ① 当时，，则， .（1分）

② 当时，， .（2分）

所以，即，

所以，而， .（3分）

所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以． .（4分）

（Ⅱ） 由(Ⅰ)得．

所以 ①

② .（6分）

②-①得： .（7分）

（8分）

（Ⅲ）由(Ⅰ)知 （9分）

而

， （11分）

所以，

故不超过的最大整数为． （14分） .

考点：1.递推关系；2.等比数列的概念；3.数列求和.