Question

已知函数.

（Ⅰ）若，且对于任意恒成立，试确定实数的取值范围；

（Ⅱ）设函数，

求证：

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）是偶函数，只需研究对任意成立即可，即当时

（Ⅱ）观察结论，要证，即证，变形可得，

可证．问题得以解决．

试题解析：（Ⅰ）由可知是偶函数．

于是对任意成立等价于对任意成立． （1分）

由得．

①当时，．

此时在上单调递增． 故，符合题意．（3分）

②当时，．

当变化时的变化情况如下表： （4分）

单调递减

极小值

单调递增

由此可得，在上，．

依题意，，又．

综合①，②得，实数的取值范围是． （7分）

（Ⅱ），

又，

（10分）

，

（12分）

由此得:

故成立. （14分）.

考点：1.函数的极值；2.不等式恒成立问题；3.导数的应用.