Question

已知函数，，，其中，且.

⑴当时，求函数的最大值；

⑵求函数的单调区间；

⑶设函数若对任意给定的非零实数，存在非零实数（），使得成立，求实数的取值范围.

Answer

⑴-1; ⑵详见解析; ⑶

【解析】

试题分析：⑴令g′（x）=0求出根，判断g′（x）在左右两边的符号，得到g（x）在上单调递增，在上单调递减，可知g（x）最大值为g（1），并求出最值；

⑵解不等式得出函数的单调增区间，导数小于零求出单调递减区间，注意单调区间与定义域取交集；

⑶不等式恒成立就是求函数的最值，注意对参数的讨论.

试题解析：⑴当时， ∴

令，则， ∴在上单调递增，在上单调递减

∴ （4分）

⑵，，（）

∴当时，，∴函数的增区间为，

当时，，

当时，，函数是减函数；当时，，函数是增函数.

综上得，当时，的增区间为；

当时，的增区间为，减区间为 （10分）

⑶当，在上是减函数，此时的取值集合；

当时，，

若时，在上是增函数，此时的取值集合；

若时，在上是减函数，此时的取值集合.

对任意给定的非零实数，

①当时，∵在上是减函数，则在上不存在实数（），使得，则，要在上存在非零实数（），使得成立，必定有，∴；

②当时，在时是单调函数，则，要在上存在非零实数（），使得成立，必定有，∴.

综上得，实数的取值范围为. （14分）.

考点：1.函数的最值、单调性；2.导数的应用.