Question

设平面向量，，函数。

（Ⅰ）求函数的值域和函数的单调递增区间;

（Ⅱ）当,且时,求的值.

Answer

（Ⅰ）值域是；单调增区间为；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：根据的特点，利用平面向量的数量积的运算法则化简，然后利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，从而确定出的解析式，

根据、数量积公式和三角函数恒等变换，求出，在根据正弦函数的性质求出函数的值域；

②根据正弦函数的单调区间为，列出不等式，求出不等式的解集即可得到的取值范围即为的递增区间；

③根据，代入的解析式中，得到的值，根据的范围求出的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，把所求的式子利用二倍角的正弦函数公式化简，将和的值代入即可求出值．

试题解析：依题意 （2分）

（4分）

（Ⅰ） 函数的值域是； （5分）

令，解得 （7分）

所以函数的单调增区间为. （8分）

（Ⅱ）由得,

因为所以得, （10分）

（12分）.

考点：1. 正弦函数的定义域和值域、正弦函数的单调性；2. 三角函数的恒等变换及化简求值；3.平面向量数量积的运算.