Question

数列{}的前n项和为，．

（Ⅰ）设，证明：数列是等比数列；

（Ⅱ）求数列的前项和；

（Ⅲ）若，数列的前项和，证明：．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）详见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ） 由，令可求，时，利用可得与之间的递推关系，构造等可证等比数列；（Ⅱ）  由（Ⅰ）可求，利用错位相减法可求数列的和；（Ⅲ）由（Ⅱ）进而可求，利用（）进行不等式放缩，求数列{}的和即可求证.

试题解析：（Ⅰ）因为，

所以 ① 当时，，则， （1分）

② 当时，， （2分）

所以，即，

所以，而， （3分）

所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以． （4分）

（Ⅱ）由(1)得．

所以 ①，

②， （5分）

②-①得：， （7分）

. （9分）

（Ⅲ）由(Ⅰ)知 （10分）

（1）当时，成立； （11分）

（2）当时，，， （13分）

所以. （14分）

（本题放缩方法不唯一,请酌情给分）

考点： 1.递推关系；2.等比数列的概念；3.数列求和和不等式放缩.