Question

已知函数，（其中为常数）；

（Ⅰ）如果函数和有相同的极值点，求的值；

（Ⅱ）设，问是否存在，使得，若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

（Ⅲ）记函数，若函数有5个不同的零点，求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ）或（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（1）对函数f（x）求导可得，由，可得得或，而在处有极大值，从而可得a；（2）假设存在，即存在x∈(−1，)，使得f（x）-g（x）＞0，由x∈(−1，)，及a＞0，可得x-a＜0，则存在x∈(−1，)，使得，结合二次函数的性质求解；（3）据题意有f（x）-1=0有3个不同的实根，g（x）-1=0有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等．g（x）-1=0有2个不同的实根，只需满足⇒a＞1或a＜−3；有3个不同的实根，从而结合导数进行求解.

试题解析：（Ⅰ），则，

令，得或，而在处有极大值，∴，或；综上：或． （3分）

（Ⅱ）假设存在，即存在，使得

，

当时，又，故，则存在，使得， （4分）

当即时，得，； （5分）

当即时，得， （6分）

无解；综上：． （7分）

（Ⅲ）据题意有有3个不同的实根，有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等．

（ⅰ）有2个不同的实根，只需满足； （8分）

（ⅱ）有3个不同的实根，

当即时，在处取得极大值，而，不符合题意，舍； （9分）

当即时，不符合题意，舍；

当即时，在处取得极大值，；所以； （10分）

因为（ⅰ）（ⅱ）要同时满足，故；（注：也对） （11分）

下证：这5个实根两两不相等，即证：不存在使得和同时成立；

若存在使得，

由，即，得，

当时，，不符合，舍去；

当时，既有 ①；

又由，即 ②； 联立①②式，可得；

而当时，没有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等．

综上，当时，函数有5个不同的零点． （14分）

考点： 1. 函数与方程的综合运用；2.函数的零点；3.利用导数研究函数的极值．