Question

设函数，其中，为正整数，、、均为常数，曲线在处的切线方程为.

（1）求、、的值；

（2）求函数的最大值；

（3）证明：对任意的都有.（为自然对数的底）

Answer

（1），，；（2）；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）利用点在切线上，求出的值，由切线方程求出切线的斜率，从而得到的值，再结合题干的条件列方程组求出、、的值；（2）利用导数求出极值，利用极值与最值的关系求出最大值；（3）证法1是利用分析法将问题等价转化为证明不等式，最后等价证明，利用换元法，构造新函数，只需证明不等式即可，利用导数，结合单调性进行证明；证法2是先构造新函数，证明在区间内成立，再令，得到，最终得到，再结合（2）中的结论得到.

试题解析：（1）由点在直线上，可得，即.

，.

又切线的斜率为，，，，；

（2）由（1）知，，故.

令，解得，即在上有唯一零点.

当时，，故在上单调递增；

当时，，故在单调递减.

在上的最大值.

（3）证法1：要证对任意的都有，只需证，

由（2）知在上有最大值，，故只需证.

即，即，①

令，则，①即，②

令，则，

显然当时，，所以在上单调递增，

，即对任意的②恒成立，

对任意的都有；

证法2：令，则.

当时，，故在上单调递减；

而当时， ，故在上单调递增.

在上有最小值，.

，即.

令，得，即，所以，即.

由（2）知，，故所证不等式成立.

考点：1.利用导数求切线方程；2.利用导数求函数的最值；3.函数不等式