Question

已知，函数.

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）当有两个极值点（设为和）时，求证：.

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）先求出函数的导函数，确定导数的符号，实质上就是确定分子的正负，从而确定函数在定义域上的单调性，即对分子的的符号进行分类讨论，从而确定的符号情况，进而确定函数在定义域上的单调性；（2）根据、与之间的关系，结合韦达定理得出以及的表达式，代入所证的不等式中，利用分析法将所要证的不等式转化为证明不等式，利用作差法，构造新函数，利用导数围绕来证明.

试题解析：（1），

，考虑分子

当，即时，在上，恒成立，此时在上单调递增；

当，即时，方程有两个解不相等的实数根：，，显然，

当或时，；当时，；

函数在上单调递减，

在和上单调递增.

（2）、是的两个极值点，故满足方程，

即、是的两个解，，

而在中，，

因此，要证明，

等价于证明，

注意到，只需证明，即证，

令，则，

当时，，函数在上单调递增；

当时，，函数在上单调递减；

因此，从而，即，原不等式得证.

考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.分类讨论；3.分析法；4.构造新函数证明函数不等式