Question

已知数列的前项和为，且满足．

（1）求，的值；

（2）求；

（3）设，数列的前项和为，求证：．

Answer

（1） （2）． （3）见解析

【解析】

试题分析：

（1）分别令n=1,2,在根据的定义即可求的.

（2）利用与的关系(),即可消去得到关于的递推式,整理可后利用叠乘法即可得到的通项公式,注意验证首项.此外还可以先找规律得到通项公式，再利用数学归纳法进行证明.这也是可以的.

（3）由第二问得是不可求和的数列,可以考虑放缩成为可求和的数列,跟据为分式,以此可以考虑放缩成为可以裂项求和的数列,裂项求和即可证明相应的不等式.

试题解析：

（1）当时，有，解得．

当时，有，解得． 2分

（2）（法一）当时，有, ①

． ②

①—②得：，即：． 5分

．

． 8分

另【解析】
．

又当时，有， ． 9分[

（法二）根据，，猜想：． 3分

用数学归纳法证明如下：

（Ⅰ）当时，有，猜想成立．

（Ⅱ）假设当时，猜想也成立，即：．

那么当时，有，

即：，①

又 ， ②

①-②得：，

解，得 ．

当时，猜想也成立．

因此，由数学归纳法证得成立． 8分

（3）， 10分

． 14分

考点：递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、放缩法证明不等式等